Penurunan Rumus Turunan Sinus

$\\f(x)=\sin x\\ f(x+h)=\sin(x+h)\\ \begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cos h-\sin x+\cos x\sin h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\left[\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\right ]\\ &= \sin x\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\\ &= (\sin x)(0)+(\cos x)(1) = \cos x \end{align*}$
Penurunan Rumus Turunan Cosinus
$\\f(x)=\cos x\\ f(x+h)=\cos(x+h)\\ \begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\cos x-\sin x\sin h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\left[\cos x\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\frac{\sin h}{h}\right ]\\ &= \cos x\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\\ &= (\cos x)(0)-(\sin x)(1) = -\sin x \end{align*}$
Untuk turunan tangen, cotangen, cosecan, dan secan bisa didapatkan dari aturan turunan pembagian dua fungsi yang dibahas sebelumnya. Penurunannya silakan sebagai latihan. Ingat bagaimana hubungan keempat fungsi trigonometri tersebut terhadap sinus dan cosinus.
$\\\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\\\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\\\\ \csc x=\frac{1}{\sin x}\\\\ \sec x=\frac{1}{\cos x}$
Berikut ini disajikan turunan fungsi trigonometri dalam bentuk tabel.

$Fungsi[f(x)]$	$Turunan[f'(x)]$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$

Pembahasan di atas merupakan dasar turunan fungsi trigonometri. Untuk fungsi trigonometri yang bentuknya lebih kompleks penyelesaiannya menggunakan aturan rantai.
sumber : www.matematika.us

ALAN MAOLANA S

Jumat, 27 Mei 2011

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Penurunan Rumus Turunan Sinus

2 komentar: